Um Pouco Mais de Matemática Avançada

Geometria Algébrica

Você pode definir variedades algébricas arbitrárias no Sage, mas as vezes alguma funcionalidade não-trivial é limitada a anéis sobre $\QQ$ ou corpos finitos. Por exemplo, vamos calcular a união de duas curvas planas afim, e então recuperar as curvas como as componentes irredutíveis da união.

sage: x, y = AffineSpace(2, QQ, 'xy').gens()
sage: C2 = Curve(x^2 + y^2 - 1)
sage: C3 = Curve(x^3 + y^3 - 1)
sage: D = C2 + C3
sage: D
Affine Plane Curve over Rational Field defined by
   x^5 + x^3*y^2 + x^2*y^3 + y^5 - x^3 - y^3 - x^2 - y^2 + 1
sage: D.irreducible_components()
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x^2 + y^2 - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x^3 + y^3 - 1
]

Você também pode encontrar todos os pontos de interseção das duas curvas, intersectando-as, e então calculando as componentes irredutíveis.

sage: V = C2.intersection(C3)
sage: V.irreducible_components()
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  y,
  x - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  y - 1,
  x,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x + y + 2,
  2*y^2 + 4*y + 3
]

Portanto, por exemplo, $(1,0)$ e $(0,1)$ estão em ambas as curvas (o que é claramente visível), como também estão certos pontos (quadráticos) cuja coordenada $y$ satisfaz $2y^2 + 4y + 3=0$.

O Sage pode calcular o ideal toroidal da cúbica torcida no espaço-3 projetivo:

sage: R.<a,b,c,d> = PolynomialRing(QQ, 4)
sage: I = ideal(b^2-a*c, c^2-b*d, a*d-b*c)
sage: F = I.groebner_fan(); F
Groebner fan of the ideal:
Ideal (b^2 - a*c, c^2 - b*d, -b*c + a*d) of Multivariate Polynomial Ring
in a, b, c, d over Rational Field
sage: F.reduced_groebner_bases ()
[[-c^2 + b*d, -b*c + a*d, -b^2 + a*c],
 [-b*c + a*d, -c^2 + b*d, b^2 - a*c],
 [-c^3 + a*d^2, -c^2 + b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c],
 [-c^2 + b*d, b^2 - a*c, b*c - a*d, c^3 - a*d^2],
 [-b*c + a*d, -b^2 + a*c, c^2 - b*d],
 [-b^3 + a^2*d, -b^2 + a*c, c^2 - b*d, b*c - a*d],
 [-b^2 + a*c, c^2 - b*d, b*c - a*d, b^3 - a^2*d],
 [c^2 - b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c]]
sage: F.polyhedralfan()
Polyhedral fan in 4 dimensions of dimension 4

Curvas Elípticas

A funcionalidade para curvas elípticas inclui a maior parte da funcionalidade para curvas elípticas do PARI, acesso aos dados da base de dados Cremona (isso requer um pacote adicional), os recursos do mwrank, isto é, “2-descends” com cálculos do grupo de Mordell-Weil completo, o algoritmo SEA (sigla em inglês), cálculo de todas as isogenias, bastante código novo para curvas sobre $\QQ$, e parte do software “algebraic descent” de Denis Simons.

O comando EllipticCurve para criar curvas elípticas possui várias formas:

• EllipticCurve([$a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_6$]): Fornece a curva elíptica

  $$y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6,$$

  onde os $a_i$’s são coagidos para a família de $a_1$. Se todos os $a_i$ possuem parente $\ZZ$, então eles são coagidos para $\QQ$.

• EllipticCurve([$a_4$, $a_6$]): Conforme acima, mas $a_1=a_2=a_3=0$.

• EllipticCurve(label): Fornece a curva elíptica da base de dados Cremona com o “label” (novo) dado. O label é uma string, tal como "11a" ou "37b2". As letras devem ser minúsculas (para distinguir dos labels antigos).

• EllipticCurve(j): Fornece uma curva elíptica com invariante $j$.

• EllipticCurve(R, [$a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_6$]): Cria uma curva elíptica sobre um anel $R$ com os $a_i$’s.

Agora ilustramos cada uma dessas construções:

sage: EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field

sage: EllipticCurve([GF(5)(0),0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5

sage: EllipticCurve([1,2])
Elliptic Curve defined by y^2  = x^3 + x + 2 over Rational Field

sage: EllipticCurve('37a')
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field

sage: EllipticCurve_from_j(1)
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 + 36*x + 3455 over Rational Field

sage: EllipticCurve(GF(5), [0,0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5

O par $(0,0)$ é um ponto na curva elíptica $E$ definida por $y^2 + y = x^3 - x$. Para criar esse ponto digite E([0,0]). O Sage pode somar pontos em uma curva elíptica (lembre-se que é possível definir uma estrutura de grupo aditivo em curvas elípticas onde o ponto no infinito é o elemento nulo, e a some de três pontos colineares sobre a curva é zero):

sage: E = EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field
sage: P = E([0,0])
sage: P + P
(1 : 0 : 1)
sage: 10*P
(161/16 : -2065/64 : 1)
sage: 20*P
(683916417/264517696 : -18784454671297/4302115807744 : 1)
sage: E.conductor()
37

As curvas elípticas sobre os números complexos são parametrizadas pelo invariante $j$. O Sage calcula o invariante $j$ da seguinte forma:

sage: E = EllipticCurve([0,0,0,-4,2]); E
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field
sage: E.conductor()
2368
sage: E.j_invariant()
110592/37

Se criarmos uma curva com o mesmo invariante $j$ que a curva $E$, ela não precisa ser isomórfica a $E$. No seguinte exemplo, as curvas não são isomórficas porque os seus condutores são diferentes.

sage: F = EllipticCurve_from_j(110592/37)
sage: F.conductor()
37

Todavia, uma torção de $F$ por um fator 2 resulta em uma curva isomórfica.

sage: G = F.quadratic_twist(2); G
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field
sage: G.conductor()
2368
sage: G.j_invariant()
110592/37

Nós podemos calcular os coeficientes $a_n$ de uma série-$L$ ou forma modular $\sum_{n=0}^\infty a_nq^n$ associada à curva elíptica. Esse cálculo usa a biblioteca C do PARI.

sage: E = EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
sage: E.anlist(30)
[0, 1, -2, -3, 2, -2, 6, -1, 0, 6, 4, -5, -6, -2, 2, 6, -4, 0, -12, 0, -4,
 3, 10, 2, 0, -1, 4, -9, -2, 6, -12]
sage: v = E.anlist(10000)

Leva apenas um segundo para calcular todos os $a_n$ para $n\leq 10^5$:

sage: %time v = E.anlist(100000)
CPU times: user 0.98 s, sys: 0.06 s, total: 1.04 s
Wall time: 1.06

Curvas elípticas podem ser construídas usando o “label” da base de dados Cremona. Isso importa a curva elíptica com informações prévias sobre o seu posto, números de Tomagawa, regulador, etc.

sage: E = EllipticCurve("37b2")
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 1873*x - 31833 over Rational
Field
sage: E = EllipticCurve("389a")
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2*x  over Rational Field
sage: E.rank()
2
sage: E = EllipticCurve("5077a")
sage: E.rank()
3

Nós também podemos acessar a base de dados Cremona diretamente.

sage: db = sage.databases.cremona.CremonaDatabase()
sage: db.curves(37)
{'a1': [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1], 'b1': [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3]}
sage: db.allcurves(37)
{'a1': [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1],
 'b1': [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3],
 'b2': [[0, 1, 1, -1873, -31833], 0, 1],
 'b3': [[0, 1, 1, -3, 1], 0, 3]}

Os objetos obtidos pela base de dados não são do tipo EllipticCurve. Eles são elementos de uma base de dados e possuem alguns campos, e apenas isso. Existe uma versão básica da base de dados Cremona, que já é distribuída na versão padrão do Sage, e contém informações limitadas sobre curvas elípticas de condutor $\leq 10000$. Existe também uma versão estendida opcional, que contém informações extensas sobre curvas elípticas de condutor $\leq 120000$ (em outubro de 2005). Por fim, existe ainda uma versão (2GB) opcional de uma base de dados para o Sage que contém centenas de milhares de curvas elípticas na base de dados Stein-Watkins.

Caracteres de Dirichlet

Um caractere de Dirichlet é a extensão de um homomorfismo $(\ZZ/N\ZZ)* \to R^*$, para algum anel $R$, para o mapa $\ZZ \to R$ obtido mapeando os inteiros $x$ tais que $\gcd(N,x)>1$ em 0.

sage: G = DirichletGroup(12)
sage: G.list()
[Dirichlet character modulo 12 of conductor 1 mapping 7 |--> 1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 4 mapping 7 |--> -1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 3 mapping 7 |--> 1, 5 |--> -1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 12 mapping 7 |--> -1, 5 |--> -1]
sage: G.gens()
(Dirichlet character modulo 12 of conductor 4 mapping 7 |--> -1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 3 mapping 7 |--> 1, 5 |--> -1)
sage: len(G)
4

Tendo criado o grupo, a seguir calculamos um elemento e fazemos cálculos com ele.

sage: G = DirichletGroup(21)
sage: chi = G.1; chi
Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> zeta6
sage: chi.values()
[0, 1, zeta6 - 1, 0, -zeta6, -zeta6 + 1, 0, 0, 1, 0, zeta6, -zeta6, 0, -1,
 0, 0, zeta6 - 1, zeta6, 0, -zeta6 + 1, -1]
sage: chi.conductor()
7
sage: chi.modulus()
21
sage: chi.order()
6
sage: chi(19)
-zeta6 + 1
sage: chi(40)
-zeta6 + 1

É também possível calcular a ação do grupo de Galois $\text{Gal}(\QQ(\zeta_N)/\QQ)$ sobre esses caracteres, bem como a decomposição em produto direto correspondente à fatorização do módulo.

sage: chi.galois_orbit()
[Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> -zeta6 + 1,
 Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> zeta6]

sage: go = G.galois_orbits()
sage: [len(orbit) for orbit in go]
[1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1]

sage: G.decomposition()
[
Group of Dirichlet characters modulo 3 with values in Cyclotomic Field of order 6 and degree 2,
Group of Dirichlet characters modulo 7 with values in Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
]

A seguir, construímos o grupo de caracteres de Dirichlet mod 20, mas com valores em $\QQ(i)$:

sage: K.<i> = NumberField(x^2+1)
sage: G = DirichletGroup(20,K)
sage: G
Group of Dirichlet characters modulo 20 with values in Number Field in i with defining polynomial x^2 + 1

Agora calculamos diversos invariantes de G:

sage: G.gens()
(Dirichlet character modulo 20 of conductor 4 mapping 11 |--> -1, 17 |--> 1,
Dirichlet character modulo 20 of conductor 5 mapping 11 |--> 1, 17 |--> i)

sage: G.unit_gens()
(11, 17)
sage: G.zeta()
i
sage: G.zeta_order()
4

No próximo exemplo criamos um caractere de Dirichlet com valores em um corpo numérico. Nós especificamos explicitamente a escolha da raiz da unidade no terceiro argumento do comando DirichletGroup abaixo.

sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: K = NumberField(x^4 + 1, 'a'); a = K.0
sage: b = K.gen(); a == b
True
sage: K
Number Field in a with defining polynomial x^4 + 1
sage: G = DirichletGroup(5, K, a); G
Group of Dirichlet characters modulo 5 with values in the group of order 8 generated by a in Number Field in a with defining polynomial x^4 + 1
sage: chi = G.0; chi
Dirichlet character modulo 5 of conductor 5 mapping 2 |--> a^2
sage: [(chi^i)(2) for i in range(4)]
[1, a^2, -1, -a^2]

Aqui NumberField(x^4 + 1, 'a') diz para o Sage usar o símbolo “a” quando imprimir o que é K (um corpo numérico definido pelo polinômio $x^4 + 1$). O nome “a” não está declarado até então. Uma vez que a = K.0 (ou equivalentemente a = K.gen()) é calculado, o símbolo “a” representa a raiz do polinômio gerador $x^4+1$.

Formas Modulares

O Sage pode fazer alguns cálculos relacionados a formas modulares, incluindo dimensões, calcular espaços de símbolos modulares, operadores de Hecke, e decomposições.

Existem várias funções disponíveis para calcular dimensões de espaços de formas modulares. Por exemplo,

sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(11),2)
1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(1),12)
1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma1(389),2)
6112

A seguir ilustramos o cálculo dos operadores de Hecke em um espaço de símbolos modulares de nível $1$ e peso $12$.

sage: M = ModularSymbols(1,12)
sage: M.basis()
([X^8*Y^2,(0,0)], [X^9*Y,(0,0)], [X^10,(0,0)])
sage: t2 = M.T(2)
sage: t2
Hecke operator T_2 on Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(1)
of weight 12 with sign 0 over Rational Field
sage: t2.matrix()
[ -24    0    0]
[   0  -24    0]
[4860    0 2049]
sage: f = t2.charpoly('x'); f
x^3 - 2001*x^2 - 97776*x - 1180224
sage: factor(f)
(x - 2049) * (x + 24)^2
sage: M.T(11).charpoly('x').factor()
(x - 285311670612) * (x - 534612)^2

Podemos também criar espaços para $\Gamma_0(N)$ e $\Gamma_1(N)$.

sage: ModularSymbols(11,2)
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
 0 over Rational Field
sage: ModularSymbols(Gamma1(11),2)
Modular Symbols space of dimension 11 for Gamma_1(11) of weight 2 with
sign 0 over Rational Field

Vamos calcular alguns polinômios característicos e expansões $q$.

sage: M = ModularSymbols(Gamma1(11),2)
sage: M.T(2).charpoly('x')
x^11 - 8*x^10 + 20*x^9 + 10*x^8 - 145*x^7 + 229*x^6 + 58*x^5 - 360*x^4
     + 70*x^3 - 515*x^2 + 1804*x - 1452
sage: M.T(2).charpoly('x').factor()
(x - 3) * (x + 2)^2 * (x^4 - 7*x^3 + 19*x^2 - 23*x + 11)
        * (x^4 - 2*x^3 + 4*x^2 + 2*x + 11)
sage: S = M.cuspidal_submodule()
sage: S.T(2).matrix()
[-2  0]
[ 0 -2]
sage: S.q_expansion_basis(10)
[
    q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + 2*q^6 - 2*q^7 - 2*q^9 + O(q^10)
]

Podemos até mesmo calcular espaços de símbolos modulares com carácter.

sage: G = DirichletGroup(13)
sage: e = G.0^2
sage: M = ModularSymbols(e,2); M
Modular Symbols space of dimension 4 and level 13, weight 2, character
[zeta6], sign 0, over Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
sage: M.T(2).charpoly('x').factor()
(x - zeta6 - 2) * (x - 2*zeta6 - 1) * (x + zeta6 + 1)^2
sage: S = M.cuspidal_submodule(); S
Modular Symbols subspace of dimension 2 of Modular Symbols space of
dimension 4 and level 13, weight 2, character [zeta6], sign 0, over
Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
sage: S.T(2).charpoly('x').factor()
(x + zeta6 + 1)^2
sage: S.q_expansion_basis(10)
[
q + (-zeta6 - 1)*q^2 + (2*zeta6 - 2)*q^3 + zeta6*q^4 + (-2*zeta6 + 1)*q^5
  + (-2*zeta6 + 4)*q^6 + (2*zeta6 - 1)*q^8 - zeta6*q^9 + O(q^10)
]

Aqui está um outro exemplo de como o Sage pode calcular a ação de operadores de Hecke em um espaço de formas modulares.

sage: T = ModularForms(Gamma0(11),2)
sage: T
Modular Forms space of dimension 2 for Congruence Subgroup Gamma0(11) of
weight 2 over Rational Field
sage: T.degree()
2
sage: T.level()
11
sage: T.group()
Congruence Subgroup Gamma0(11)
sage: T.dimension()
2
sage: T.cuspidal_subspace()
Cuspidal subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2 for
Congruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field
sage: T.eisenstein_subspace()
Eisenstein subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2
for Congruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field
sage: M = ModularSymbols(11); M
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
0 over Rational Field
sage: M.weight()
2
sage: M.basis()
((1,0), (1,8), (1,9))
sage: M.sign()
0

Denote por $T_p$ os operadores de Hecke usuais ($p$ primo). Como os operadores de Hecke $T_2$, $T_3$, e $T_5$ agem sobre o espaço de símbolos modulares?

sage: M.T(2).matrix()
[ 3  0 -1]
[ 0 -2  0]
[ 0  0 -2]
sage: M.T(3).matrix()
[ 4  0 -1]
[ 0 -1  0]
[ 0  0 -1]
sage: M.T(5).matrix()
[ 6  0 -1]
[ 0  1  0]
[ 0  0  1]