Основные кольца¶
При объявлении матриц, векторов или полиномов для них иногда полезно, а иногда и необходимо определять «кольца», на которых они определены. Кольцо - это математическая конструкция, в которой существуют определенные понятия суммы и произведения. Если вы никогда о них не слышали, то вам, вероятно, достаточно знать об этих четырех часто используемых кольцах:
целые числа \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), называемые
ZZв Sage.рациональные числа – например, дроби или отношения целых чисел –-, называемые
QQв Sage.вещественные числа, называемые
RRв Sage.комплексные числа, называемые
CCв Sage.
Знание различий между данными кольцами очень важно, так как один и тот же полином, определенный в разных кольцах, может вести себя по-разному. Например, полином \(x^2-2\) имеет два корня: \(\pm \sqrt{2}\). Эти корни не являются рациональными числами, поэтому если вы работаете с полиномами с рациональными коэффициентами, то полином не будет разлагаться на множители. С вещественными коэффициентами — будет. Поэтому стоит определить кольцо, чтобы быть уверенным, что полученный результат будет правильным. Следующие две команды задают множества полиномов с рациональными коэффициентами и вещественными коэффициентами соответственно. Множества названы «ratpoly» и «realpoly», но это не столь важно в данном контексте, однако символьные сочетания «.<t>» и «.<z>» являются названиями переменных, использованных в двух случаях.
sage: ratpoly.<t> = PolynomialRing(QQ)
sage: realpoly.<z> = PolynomialRing(RR)
Факторизируем \(x^2-2\):
sage: factor(t^2-2)
t^2 - 2
sage: factor(z^2-2)
(z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)
Символ I обозначает квадратный корень из \(-1\); i — это
то же самое, что I. Конечно, это не рациональное число:
sage: i # квадратный корень из -1
I
sage: i in QQ
False
Заметка: Вышеописанный код может работать не так, как задумывалось,
если переменной i было задано другое значение, например, если
оно было использовано, как счетчик для цикла. В таком случае введите
sage: reset('i')
для того, чтобы получить изначальное комплексное значение i.
Есть одна тонкость в задании комплексных чисел: как описано выше,
символ i представляет квадратный корень из \(-1\), но это формальный
или символичный квадратный корень из \(-1\). Вызов CC(i) или
CC.0 вернет комплексный квадратный корень из \(-1\).
sage: i = CC(i) # комплексное число с плавающей запятой
sage: i == CC.0
True
sage: a, b = 4/3, 2/3
sage: z = a + b*i
sage: z
1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
sage: z.imag() # мнимая часть
0.666666666666667
sage: z.real() == a # автоматическое приведение типов перед сравнением
True
sage: a + b
2
sage: 2*b == a
True
sage: parent(2/3)
Rational Field
sage: parent(4/2)
Rational Field
sage: 2/3 + 0.1 # автоматическое приведение типов перед сложением
0.766666666666667
sage: 0.1 + 2/3 # приведение типов в Sage симметрично
0.766666666666667
Далее следуют примеры базовых колец в Sage. Как отмечено выше,
кольцо рациональных чисел обозначается как QQ, а также как
RationalField() (поле - это кольцо, в котором произведение
является коммутативным и в котором каждый ненулевой элемент имеет
обратную величину в этом кольце (рациональные числа являются полем,
а целые - нет):
sage: RationalField()
Rational Field
sage: QQ
Rational Field
sage: 1/2 in QQ
True
Десятичное число 1.2 рассматривается как QQ: десятичные числа,
которые также являются рациональными, могут быть «приведены» к
рациональным числам. Числа \(\pi\) и \(\sqrt{2}\) не являются рациональными:
sage: 1.2 in QQ
True
sage: pi in QQ
False
sage: pi in RR
True
sage: sqrt(2) in QQ
False
sage: sqrt(2) in CC
True
Для использования в высшей математике Sage также может выполнять операции с другими кольцами, как конечные поля, \(p\)-адические числа, кольцо алгебраических чисел, полиномиальные кольца и матричные кольца. Далее показаны некоторые из них:
sage: GF(3)
Finite Field of size 3
sage: GF(27, 'a') # если поле не простое, нужно задать имя генератора
Finite Field in a of size 3^3
sage: Zp(5)
5-adic Ring with capped relative precision 20
sage: sqrt(3) in QQbar # алгебраическое замыкакие QQ
True